Julia-Menge

Die Juliamenge wird von dem quadratischen Polynomen f(z) = z² + c durch Iteration erzeugt. Zu jedem Punkt in der Komplexen Ebene gehört eine Julia Menge, wenn man den Punkt als Parameter c bei der Iteration z → z² + c interpretiert. Bei verschiedenen Parametern c entstehen Drachen, Kaninchen oder Dendriten.

Julia-Menge

Programm zum Generieren der Juliamenge



 

Klicken Sie auf einen Punkt im Fraktal und ziehen Sie mit gedrückter Maustaste einen gewünschten Bildausschnitt. Beim Loslassen der Maustaste wird dieser Ausschnitt der Julia-Menge gerendert.

Transformation der Julia-Menge

Transformation der Julia-Menge.
Animation über den Parameter c (Imaginärteil) von 0.0 – i*2.0 bis 0.0 + i*2.0

Animation über den Parameter c (Realteil)

Transformation der Julia Menge.
Animation über den Parameter c (Realteil) von -2.0 + i*0.0 bis 2.0 + i*0.0

Juliamenge Iteration

Wir nehmen komplexe Zahlen z und c bei der Iteration z → z² + c und starten mit einer Zahl z0. Nach der Iteration bekommen wir z1, z2, z3.

z1 = z0² + c
z2 = z1² + c
z3 = z2² + c

Wir können die komplexen Zahlen nach Realteil und Imaginärteil aufschlüsseln (z = x + iy und c = a + ib):

x + iy → (x + iy)² + (a + ib)

Nach der Multiplikation von Polynomen, unter dem Hinweis auf i² = -1 erhalten wir:

x + iy → x² + 2ixy – y² + a + ib
x + iy → (x² – y² + a) + (2xy + b)i

Für x nehmen wir Realteil:

x → x² – y² + a

und für y Imaginärteil:

y → 2xy + b