Mandelbrot Transformation

Standard-Mandelbrotmenge

Standard-Mandelbrotmenge

Hier ist ein Beispiel für eine rein mathematische Abbildung, die jedoch grafisch darstellbar ist und als geometrisches Objekt betrachtet werden kann. Die Mandelbrotmenge, die seit ihrer Entdeckung in den 1980er Jahren immer wieder die Fantasie von Enthusiasten fesselt. Die Visualisierung eines so komplexen Objekts wie der Mandelbrotmenge wurde erst durch Computer möglich: Eine mathematische Struktur, die einerseits eine erstaunliche Komplexität aufweist und andererseits durch ein sehr einfaches iteratives Verfahren erzeugt werden kann. Mathematisch ausgedrückt kann die Mandelbrotmenge wie folgt definiert werden:
Mandelbrot-Menge Definition

Hierbei stehen c und z für die Mengen der komplexen Zahlen und zn ist die n-te Iteration der Funktion z = z2 + c, wenn z0 = 0.

Die Iteration der Gleichung z = z2 + c ist ein zentrales Konzept bei der Darstellung der Mandelbrotmenge. Wenn wir die Gleichung mit dem Startwert z0 = 0 iterieren, erhalten wir:
z1 = c
z2 = c2 + c
z3 = (c2 + c)2 + c
z4 = ((c2 + c)2 + c)2 + c
und so weiter. Wie man sieht, erzeugt diese Iteration eine Folge von komplexen Zahlen, die nur vom Wert c abhängen. Die Änderung des Parameters c beeinflusst die resultierenden Iterationen erheblich. Schon geringe Veränderungen in c können zu deutlichen Unterschieden in den erzeugten Mustern führen. Die Transformation des Parameters c ist ein nützliches Hilfsmittel, um die Mandelbrot-Menge zu verändern.

Inverse Mandelbrot Set

Mandelbrot inverse

Mandelbrot inverse

Die einfachste und sehr schnelle Transformation von c ist c1 → c-1 zu setzen. Die Mandelbrotmenge mit dem Parameter c-1 ist eine interessante Variation der klassischen Mandelbrotmenge. In der Standard-Mandelbrotmenge z = z2 + c liegen alle Punkte, die nach einer Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises mit Radius 2 bleiben. Die Standard-Mandelbrotmenge hat auch den Punkt 0.

Bei Mandelbrot inverse z = z2 + c-1 wird die Menge von innen nach außen „verdreht“. Auf diese Weise bekommt die inverse Mandelbrot-Menge den Punkt unendlich.

Weitere Transformationen der Mandelbrot-Menge

Mandelbrot Fraktal. Transformation über n-te Potenz. Animation von n = 1 bis n = 3

Mandelbrot Fraktal. Transformation über n-te Potenz. Animation von n = 1 bis n = 3


Inverse Mandelbrot-Menge. Aufzoomen vom Minimandelbrot zum vollständigen Objekt auf der komplexen Ebene.

Parabolic Mandelbrot Set M1 Transformation
Noch eine Transformation zur Abbildung z = z + 1/z + A (von 1 zu 0,5) für Parabolic Mandelbrot Set M₁