Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge wird durch eine einfache mathematische Formel in der komplexen Ebene erzeugt.

zn+1 = zn² + c

Hierbei ist z eine komplexe Zahl, die zu Beginn auf null gesetzt wird, und c ist eine komplexe Zahl, die den Punkt in der komplexen Ebene repräsentiert, den man untersucht. Die Idee besteht darin, zu überprüfen, ob bei Iteration die Folge für einen bestimmten Punkt C begrenzt bleibt oder ob sie divergiert (wächst ins Unendliche).


Die Standarddarstellung der Mandelbrot-Menge ist schwarz-weiß, wobei die Pixel, die zur Menge gehören, sind schwarz, alle anderen weiß.Durch die Zuordnung von Farben zu Punkten außerhalb der Mandelbrotmenge lassen sich jedoch komplexe und beeindruckende Bilder erzeugen. Alle Punkte innerhalb der Mandelbrot-Menge gehören zu einem der spektakulären Fraktale, die charakteristische selbstähnliche Strukturen aufweisen.

Die Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou leisteten bedeutende Vorarbeit zur Theorie der sogenannten Julia-Mengen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verbunden ist. Sie untersuchten bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts komplexe Iterationen von Funktionen und entwickelten Theorien über die Konvergenz oder Divergenz von Iterationen in der komplexen Ebene.

Vor der visuellen Darstellung durch Computergrafiken war die Julia-Mengen in der Tat eine rein mathematische Entdeckung, die auf der Analyse der Konvergenz und Divergenz von Zahlenfolgen basierte, ohne dass visuelle Muster direkt sichtbar waren. Die visuelle Darstellung der Menge auf Computern erfolgte erst später, insbesondere in den 1980er Jahren, als die Computertechnologie es ermöglichte, komplexe mathematische Berechnungen grafisch darzustellen.

Fraktal Mandelbrot Menge von Brooks & Matelski

Erste Visualisierung von Brooks & Matelski

Eine der frühesten visuellen Darstellungen der Mandelbrot und Juliamengen wurde in der Arbeit von Mathematikern Robert W. Brooks und John Matelski erstellt. Sie haben 1978 bei ihren ASCI-Fractalen auch die bekannte Gleichung z = z² + c präsentiert.

Iteration z → z² + c

Mandelbrot-Menge, Color


Die Gleichung z = z² + c ist eine grundlegende Iteration über komplexe Zahlen, die in der Visualisierung von Fraktalen, einschließlich der Mandelbrot-Menge, weit verbreitet ist. Brooks und Matelski haben bestimmt den Zusammenhang erkannt, da sie beide Fraktale – Juliamenge und Mandelbrotmenge – von dieser Gleichung präsentierten.

Benoît Mandelbrot kannte die Arbeiten von Julia und Fatou. Die Gleichung z = z² + c war ihm auch bekannt. Wie viele andere Wissenschaftler sah auch er, dass dieses Thema erschöpft ist und die Iteration z = z² + c keine neuen Informationen oder Ideen bringt. Er begann Experimente mit kubischen Gleichungen, nachdem er 1979 bei Hubbard auf das Bild einer Julia-Menge im Zusammenhang mit Newtons Methode für die Gleichung z³ – 1 = 0 gestoßen.

Mandelbrot sah etwas und machte sich auf die Suche danach. Er nannte es später „Advance shadows“ of the Mandelbrot-set. Was genau er gesehen hat und bei wem er es gesehen hat, sagte er leider nicht. Damit bestätigte er aber indirekt, dass zu dieser Zeit bereits jemand an Polynomen arbeitete und die Ergebnisse bereits vorlagen.

Die Visualisierung der Gleichungen hing von einem Programmierer ab, da Mandelbrot selbst nicht programmieren konnte. Zu Beginn der siebziger Jahre dauerte es noch sehr lange, bis ein Bild am Computer entstanden war. Die Berechnung der kubischen Gleichungen erwies sich als extrem rechenaufwändig. So wurde die höchste Potenz der Variablen auf zwei reduziert.
Allerdings hat er mit anderen abbildungen gearbeitet: weil „Physiker die quadratische Karte als z → z² – μ zu schreiben pflegten“.

Alternative Abbildungen für Mandelbrot-Menge

Mandelbrot verwendete andere Iterationen:

Iteration z → μ – z²

Mandelbrot-Menge, μ-Plane, Mu-Map, Color

Iteration z → μ – z²; μ = λ²/4 – λ/2; z → λ²/4 – λ/2 – z²

Mandelbrot-Menge, μ-Plane, Mu-Map, Color

Die Gleichung w → μ – w² steht für die sogenannte negative quadratische Abbildung, die eine Art von chaotischem Verhalten zeigt. Das heißt, dass die Folgen, die durch diese Gleichung erzeugt werden, sehr empfindlich von den Anfangswerten abhängen und keine Vorhersagbarkeit oder Periodizität aufweisen. Die negative quadratische Abbildung kann auch als eine nichtlineare Transformation der komplexen Ebene interpretiert werden, die eine fraktale Menge erzeugt.

Iteration z → λz(1 – z)

Mandelbrot-Menge, λ-Plane, Lambda-Map, logistische Abbildung, Color

Die Transformation z → λz(1 – z) ist eine Art von logistischer Abbildung, die ein diskretes dynamisches System beschreibt. Diese Abbildung kann chaotisches Verhalten zeigen, je nach dem Wert von λ. Die logistische Abbildung kann auch als eine nichtlineare Transformation der komplexen Ebene interpretiert werden, die eine fraktale Menge erzeugt, die als logistische Mandelbrot-Menge – Mandelbrot Lambda bezeichnet wird.

Iteration z → 1/μ – z²

Inverse Transformation der Mandelbrot-Menge. Da die normale Mandelbrot-Menge den Punkt (0,0) enthält, enthält die inverse Mandelbrot-Menge (äußere Fläche in Schwarz) den Punkt Unendlich.

Mandelbrot-Menge, μ-Plane inverse, μ-Map inverse, Color

Mandelbrot-Menge

Mandelbrot Menge

Die Mandelbrot Menge – das komplexeste und das schönste Objekt der Wissenschaft, die Ikone der Chaostheorie. Mandelbrotmenge wurde in 1980 von Benoît Mandelbrot in der komplexen Zahlenebene entdeckt, als er herausfinden wollte, für welche Werte ergeben sich zusammenhängende Julia-Mengen. Der schwarze Kern, oder besser gesagt, die Grenze oder Umriss ist die Mandelbrotmenge – rein mathematisches Gebilde, nach Mandelbrot genannt. Mandelbrot Transformation.

Mandelbrotmenge – Selbstähnlichkeit

Diese Abbildungen zeigen, was man zu sehen bekommt, wenn man bestimmte Ausschnitte der Mandelbrot-Menge vergrößert.

Mandelbrot-Menge: Selbstähnlichkeit

Mandelbrot-Menge, das Apfelmännchen: Selbstähnlichkeit
Mandelbrot-Menge 02 vergrößert

Mandelbrot-Menge 02 vergrößert.
Mandelbrot-Menge

Mandelbrot-Menge 03 vergrößert
Mandelbrot-Menge

Mandelbrot-Menge 04 vergrößert
Mandelbrot-Menge

Mandelbrot-Menge 05 vergrößert
Mandelbrot-Menge

Mandelbrot-Menge vergrößert.

Fraktale, so unterschiedlich sie auch aussehen, gemeinsam haben eine Eigenschaft – die Selbstähnlichkeit. Betrachtet man ein Teilstück eines Fraktals, so ähnelt dieses Stück dem ganzen Fraktal.

Mandelbrot-Menge

Programm zum Generieren der Mandelbrotmenge



Klicken Sie auf einen Punkt im Fraktal und ziehen Sie mit gedrückter Maustaste einen gewünschten Bildausschnitt. Beim Loslassen der Maustaste wird dieser Ausschnitt der Mandelbrot-Menge gerendert.